FEM(1) - 1D quantum well -

業務でFEMによる2次元電磁場解析をやろうとしているのですが、その前に1次元問題を…ということで、学生時代に戻った気分で量子井戸問題を。今のところは単なる矩形量子井戸ですが、そのうちもう少し面白い内容にしたいと考えています。

解くべき方程式

1次元のSchrödinger方程式

Hψ=Eψ, H=p²/2m + V(x)

を考えて、取りあえずV(x)は矩形の井戸型ポテンシャルとしましょう。これだけなら指数関数と三角関数の接続さえ考えてやればよく、別に数値計算に走る必要はないんですが、その後の展開があるかもしれないということで、有限要素法で解いてみましょう。

井戸の深さはGaAs/AlGaAs系として300mV、井戸の幅は10nmにしますが、計算そのものは無次元化(規格化というべきか？)した後にします。中身を見ると分かるように、長さは有効Bohr半径、エネルギーは有効Rydberg定数を単位にしていますが、これで全ての物理量が1のオーダーになり結果の理解がしやすく、計算時の丸め誤差などを無駄に出さずに済みます。

境界条件は、系全体の大きさは30nmで、その両端では波動関数がゼロ (Dirichlet条件)としています。30nmという値に特に根拠はありません。

有限要素法

数値解法としては、ルンゲ=クッタ法や差分法などの方法が良く知られていると思います。これらの方法を用いた計算を解説した本は少なくありませんし、私自身、学生時代はそういった本を参考に計算をして卒論を書きました。

それに対して、有限要素法を使って解くという解説は比較的少ないのではないかと思います（根拠は無いので断言はしません）。少なくとも、自分が卒論を書こうとしたときには、「学術誌には量子力学を対象とした有限要素法の論文があるけれど、市販の書籍にはないようだし、手を出せるような代物ではないのかな」と思った記憶があります(今手元の小柴先生の本を見ると、その時すでに出版されていたようですが、当時の私は全く知りませんでしたし、知っていたとしても追い切れなかったでしょう)。

要素には最も単純な1次線要素を使用しており、大雑把な計算の流れは

Galerkin法による離散化(ここは手計算)
↓
全体行列の作成
↓
境界条件の処理
↓
一般化固有値問題(Ax=λBx)を解く
↓
固有値と固有ベクトルのsort
↓
ファイルに結果を出力

という感じになっています。「一般化」固有値問題なので一捻り必要で、実対称行列を扱う場合はCholesky分解を使って処理するのが普通らしく、ここでもそうしています。

有限要素法そのものについては、下記に挙げたような参考文献を読むか、 Internet College of FEMのような優れたサイトがありますので、そちらをご覧になって下さい。取り扱う対象が違っていても、考え方は同じです。

"Recipes"について

プログラムを見て分かる通り、参考文献に挙げた"Numerical Recipes in C"掲載のプログラムに極めて依存した作りになっています(^^;
しかしながら、著作権の問題があると思いますので、"Recipes"掲載のプログラムは削除してあります。本を購入するか http://www.nr.com/からPDF版をダウンロードして手で打ち込むか、技術評論社からディスクを購入するかして、ここにあるプログラムの最後に追加してください。ここでは"Recipes" 掲載のプログラムを、全てfloatをdoubleに置換して使っていますので、 matrix -> dmatrixのような変更も必要になります。その辺りはコンパイルしてみれば分かるということで(笑)

また、関数eigsrt内にあるif文では、不等号の向きは逆にした方がExcelなどで処理しやすくなります(降順→昇順)。

ファイル

Linux用binary (Debian sidにてgcc-3.2.3 20030221でコンパイル)か source、必要であれば Makefileをどうぞ。同じディレクトリに"Recipes"の nrutil.hとnrutil.cを置いておくのを忘れずに。

LAPACK版

LAPACKを利用するように書き換えたqwell1d.cppと、 Makefileを置いておきます。配列を動的に確保するのが簡単なので、中途半端にC++にしていますが、これで"Recipes"に依存したコードはなくなっています。

LAPACKの利用方法はgoogleで検索すればいろいろ見つかるかと…

動的に割り当てた配列の解放が"delete"になっていたので、"delete []"に修正しました(2003.04.12)

参考文献：

小柴正則著「光・波動のための有限要素法」(森北出版)

電磁気、圧電効果、量子井戸など、有限要素法についてかなり広範囲に書かれていますが、その分内容が浅くなっているということもないと思います。私はこの著者が講師だった有限要素法セミナーに参加したことがあるのですが、分かり易い説明で、その時配布されたテキストも良かったと思っています。具体的な計算をして覚えるという意味では、セミナーのテキストの方が良かったかも(^^;

河野健治、鬼頭勤著「光導波路解析の基礎 ─ マクスウェル方程式とシュレディンガー方程式を解くために ─」(現代工学社)

著者の計算ノート的な雰囲気があり、具体的な計算を追い掛けるのに有用な参考書になると思います。鬼頭さんが講師の有限要素法のセミナーに出たことがありますが、セミナーの主旨と私の参加目的の間にズレがあり、私的にはちょっと肩透かし気味でした(^^;

丹慶勝市他訳「Numerical Recipes in C - C言語による数値計算のレシピ - 」(技術評論社)

"Numerical Recipes"をCに移植した"Numerical Recipes in C"の邦訳です。本家はこちらで、今はC++やFortran90版もあるようです。C++版は現在書籍だけのようですが、それ以外は上記サイトで PDF版を入手できます。この本に載っているプログラムの入手は、書籍/PDF版を読んでひたすら打ち込むか、ディスクを購入することになると思います。この本には、修論で多変数関数の最適化問題を扱う必要があった時にお世話になりました。「時代遅れ」という評価もあるようですが、私のような入門レベルの人間には十分難しいです。

Jianming Jin, "The Finite Element Method in Electormagnetics(2nd ed.)" (WILEY)

小柴先生のセミナーで「さらに有限要素法の勉強をする場合、英語が苦にならなければこれを推薦する」と紹介されていた本です。苦にならない訳ではありませんが、英語の勉強にもなると自分に言い聞かせて購入しました。電磁気学に Green関数が出てきたり、一般化固有値問題の処理の仕方が書かれていたりと、有限要素法周辺の内容も充実している感じです。

(最終更新：2003.04.12)