解くべき方程式
前回と同じ1次元のSchrödinger方程式。分からないことを調べながらやっていたら、平面波展開の場合、束縛状態はBloch関数でk=0の場合であり、バンド計算の真似事までできるということに気が付いた。箱の大きさを無限大にした極限での自由電子論があり、そこに周期ポテンシャルを導入することでBloch関数が出てくることが自然な流れとしてイメージできる。この辺り、固体物理の復習として非常に良かった。恥ずかしながら、復習を始めた時には箱の大きさで決まる波数kと逆格子ベクトルを混同していた。
周期境界条件
ポテンシャルは矩形なので、フーリエ係数は解析的に計算できるのだが、もっと複雑な形状を扱えるようにFFTで数値的に求めるようにしたいと思っている(いずれ気が向いたら)。また、エネルギーの原点は任意に取れることを考えると、DC成分は省略しても良いが、前回のFEMによる結果と比較する(原点を揃える)ために付けてある。束縛状態の固有値は、そこそこ一致している。
対角化
LAPACKのzheevを利用した。なお、面倒臭かったので、固有ベクトルの出力に関しては手つかずである(笑)
計算結果
単一量子井戸(固定端)で計算した時に固有値が井戸の中に入るモードは、今回の計算でも波数k依存性は微少である(スケールを変えて見ると完全に平坦ではないことが分かる)。井戸の深さや幅、周期を変えてやると、最もエネルギーが低いモードでも分散が見やすくなる。
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